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La corrélation dans les données de sondage (et pourquoi elle ne correspond pas à la causalité)
Matthieu Saussaye
Un coefficient de corrélation est un chiffre unique compris entre -1 et +1 qui décrit comment deux variables évoluent ensemble. Un coefficient positif signifie qu'elles augmentent ensemble, un négatif signifie que l'une augmente lorsque l'autre diminue, et zéro signifie qu'il n'y a pas de modèle linéaire cohérent. Il ne dit rien sur la variable qui cause l'autre, ni même si l'une d'elles le fait.
Les essentiels pour le travail d'enquête :
Pearson mesure l'association linéaire entre deux variables continues. Il suppose que la relation est une ligne droite et est sensible aux valeurs aberrantes.
Spearman mesure l'association monotone en corrélant les rangs plutôt que les valeurs brutes. C'est le choix par défaut approprié pour les données d'enquête ordinales telles que les items d'une échelle d'évaluation unique : Schober, Boer et Schwarte, Anesthesia & Analgesia, 2018 notent qu'il "peut être utilisé pour des données ordinales" et est "relativement robuste aux valeurs aberrantes".
Le signe indique la direction, l'amplitude indique la force. Un coefficient de -0,6 est exactement aussi fort que +0,6.
"Pas de corrélation" signifie l'absence de modèle linéaire ou monotone, et non "pas de relation". Une relation en forme de U peut produire un coefficient proche de zéro.
Corrélation n'est pas causalité, et les données d'enquête y sont particulièrement exposées : facteurs de confusion, causalité inverse et le fait que les deux réponses proviennent de la même personne au cours des mêmes cinq minutes.
La significativité dépend fortement de la taille de l'échantillon. Avec un échantillon suffisamment grand, une corrélation dérisoire devient statistiquement significative. Rapportez le coefficient lui-même, pas seulement la p-value.
Quel coefficient de corrélation utiliser
Le choix est dicté par le niveau de mesure de vos deux variables, et non par préférence.
Coefficient | Données concernées | Ce qu'il détecte | Hypothèse clé ou mise en garde |
|---|---|---|---|
r de Pearson | Deux variables continues, à intervalle ou de rapport | Association linéaire | Suppose la linéarité ; faussé par les valeurs aberrantes et par un intervalle restreint |
rho de Spearman | Données ordinales, ou données continues asymétriques | Association monotone, dans un sens ou dans l'autre | Utilise des rangs, éliminant ainsi la taille des écarts entre les valeurs |
tau de Kendall | Données ordinales, en particulier avec de nombreuses ex-æquo (tied values) | Accord de classement entre paires d'observations | Gère mieux les ex-æquo que Spearman ; généralement plus faible en intensité |
Bisérial-point | Une variable continue et une variable binaire | Différence de moyennes exprimée sous forme de corrélation | Mathématiquement équivalent au r de Pearson appliqué à une variable 0/1 |
V de Cramer | Deux variables nominales | Force d'association dans un tableau croisé | Varie de 0 à 1 uniquement, il n'a donc pas de direction |
La plupart des variables d'enquête sont ordinales, c'est pourquoi Spearman apparaît si souvent dans l'analyse de questionnaires. Schober et al. (2018) énoncent la même règle : Pearson "est généralement utilisé pour des données distribuées normalement de manière conjointe", tandis que "pour des données continues non normales, des données ordinales ou des données présentant des valeurs aberrantes significatives, une corrélation de rang de Spearman peut être utilisée comme mesure d'une association monotone". Si vos deux variables proviennent de questions isolées d'une batterie d'évaluation, Spearman est un choix plus sûr que Pearson.
Ce qu'un coefficient de corrélation mesure réellement
Le r de Pearson résume la cohérence avec laquelle deux variables s'écartent de leur propre moyenne dans la même direction. Si les personnes qui obtiennent un score supérieur à la moyenne sur une variable ont également tendance à obtenir un score supérieur à la moyenne sur l'autre, r est positif. Si un score supérieur à la moyenne sur l'une s'accompagne d'un score inférieur à la moyenne sur l'autre, r est négatif. S'il n'y a pas de tendance cohérente, r est proche de zéro.
Trois propriétés de r méritent d'être retenues :
Il est compris entre -1 et +1. Ces extrêmes signifient que chaque point se situe exactement sur une ligne droite.
Il est sans unité et symétrique. Corréler la satisfaction avec le revenu donne le même résultat que corréler le revenu avec la satisfaction, et modifier les unités de l'une ou l'autre variable ne change pas r.
Son carré a une interprétation directe. Le r au carré est la proportion de variance d'une variable qui est partagée avec l'autre. Un r de 0,30 signifie environ 9 % de variance partagée, ce qui est un correctif utile à la façon impressionnante dont 0,30 résonne.
Pearson contre Spearman, et quand les données ordinales nécessitent Spearman
Le rho de Spearman est simplement le r de Pearson calculé sur les rangs des données plutôt que sur les valeurs. Ce seul changement modifie ce que le coefficient peut détecter et ce qu'il requiert.
Pourquoi les données ordinales d'enquête vous orientent vers Spearman
Une échelle en 5 points allant de "Tout à fait d'accord" à "Pas du tout d'accord" est ordinale. Les catégories ont un ordre clair, mais rien ne prouve que la distance entre "Pas du tout d'accord" et "Pas d'accord" soit égale à la distance entre "D'accord" et "Tout à fait d'accord". Le r de Pearson prend ces distances au sérieux, car il utilise les codes numériques de 1 à 5 comme s'il s'agissait de mesures sur une règle graduée. Jamieson, Medical Education, 2004 aborde directement le sujet des données de type Likert : les catégories "ont un ordre de classement, mais les intervalles entre les valeurs ne peuvent être présumés égaux", et les outils inférentiels conventionnels pour les données ordinales sont non paramétriques "tels que le Chi-deux, le Rho de Spearman ou le test U de Mann-Whitney".
Spearman utilise uniquement le classement, ce qui est exactement l'information qu'une échelle ordinale véhicule réellement. C'est l'argument central, et c'est pourquoi Spearman est le choix par défaut conventionnel pour corréler deux items uniques d'une Likert scale ou deux lignes d'une matrix question.
Les praticiens font souvent une exception pour les échelles multi-items. Lorsque plusieurs items de Likert sont additionnés ou moyennés pour obtenir un score composite, le résultat présente de nombreuses valeurs possibles et est généralement traité comme une variable d'intervalle, de sorte que Pearson est largement utilisé. Il s'agit d'une convention qui repose sur un débat méthodologique de longue date, et non d'un fait établi. Jamieson décrit le fait de traiter les échelles ordinales comme des intervalles comme quelque chose qui "est controversé depuis longtemps et, semble-t-il, le reste". D'un autre côté, Norman, Advances in Health Sciences Education, 2010 soutient, sur la base d'études remontant aux années 1930, que "les statistiques paramétriques sont robustes face aux violations de ces hypothèses". Le désaccord est réel et reste ouvert. Si vous utilisez cette convention, mentionnez-le.
Les autres raisons de préférer Spearman
Relations non linéaires mais monotones. Si la satisfaction augmente fortement au début puis se stabilise, la relation est monotone mais courbe. Pearson la sous-estime ; Spearman la capture pleinement.
Valeurs aberrantes. Une seule valeur extrême peut influencer considérablement le r de Pearson. Le classement la comprime à une simple position de plus dans l'ordre.
Distributions asymétriques. Les revenus, les dépenses et les données d'utilisation sont généralement asymétriques. Les rangs gèrent cela sans transformation.
Deux bémols. Spearman écarte la magnitude, il ne peut donc pas vous dire si un écart était grand ou petit, seulement qu'il existait dans une direction donnée. Et lorsqu'une échelle présente de nombreuses valeurs ex æquo, ce qui arrive constamment avec les items en 5 points, Spearman nécessite la formule corrigée pour les ex æquo plutôt que la version abrégée simplifiée, et le tau de Kendall est souvent un choix plus stable.
Interpréter la force et la direction
Le signe vous indique la direction. Les corrélations négatives ne sont pas plus faibles que les positives, un point qui induit en erreur plus de rapports qu'il ne le devrait. Une corrélation de -0,55 entre le temps d'attente et la satisfaction est un résultat fort.
La magnitude est l'aspect où l'interprétation devient contextuelle. Cohen a proposé des repères conventionnels pour les sciences comportementales. Dans A Power Primer, Psychological Bulletin, 1992, résumant son ouvrage de 1988, il indique que pour la significativité d'un r sur échantillon, "les tailles d'effet (ES) faibles, moyennes et grandes sont respectivement de .10, .30 et .50". Il précise bien qu'il s'agit de conventions plutôt que de mesures : "les définitions ont été établies de manière subjective, avec quelques ajustements mineurs au début". Ce sont des règles empiriques pour un domaine, proposées délibérément comme telles, et elles doivent être lues par rapport à votre propre contexte. Dans la Market Research sur les attitudes humaines, les corrélations supérieures à 0,60 entre deux concepts distincts sont rares ; si vous observez 0,90, vérifiez d'abord si les deux questions ne posent pas simplement la même chose avec des mots différents.
Quel que soit le chiffre, faites deux choses avant de l'interpréter. Graphiquez le nuage de points (scatter plot), car des configurations de données très différentes peuvent produire des coefficients identiques. Et indiquez un intervalle de confiance, car une estimation ponctuelle seule masque la mesure dans laquelle la valeur pourrait varier dans un autre échantillon. Schober et al. donnent le même conseil : "l'inspection visuelle des nuages de points est toujours recommandée, car la corrélation ne parvient pas à décrire de manière adéquate les relations non linéaires ou non monotones, et des relations différentes entre les variables peuvent se traduire par des coefficients de corrélation similaires."
Ce que signifie réellement "aucune corrélation"
Un coefficient proche de zéro est une affirmation spécifique et limitée : il n'y a pas de tendance linéaire cohérente pour Pearson, ou pas de tendance monotone cohérente pour Spearman, dans cet échantillon. Ce n'est pas une conclusion d'indépendance.
Quatre éléments produisent régulièrement un coefficient proche de zéro alors qu'il existe une relation réelle :
Une relation non monotone. Si les valeurs modérées d'une variable correspondent aux valeurs les plus élevées de l'autre, et que les deux extrêmes correspondent à des valeurs faibles, la hausse et la baisse s'annulent. Le nuage de points montre un U inversé évident et le coefficient ne montre rien.
Une restriction de l'intervalle (restricted range). La corrélation dépend de la variation. Si vous n'interrogez que vos clients les plus fidèles, la satisfaction varie à peine parmi eux, et sa corrélation avec tout autre élément est atténuée. N'échantillonner qu'une partie de l'intervalle peut masquer une relation qui existe sur l'ensemble de celui-ci.
Des sous-groupes opposés. Une relation positive dans un segment et une relation négative dans un autre peuvent se traduire par une moyenne globale nulle. Établissez des corrélations au sein des segments avant de conclure qu'il n'y a rien.
Le bruit de mesure. Des questions peu fiables ajoutent des variations aléatoires, ce qui tire les corrélations observées vers zéro. Un item mal rédigé peut aplatir une association réelle.
La manière honnête de rapporter un résultat nul est de dire "nous n'avons trouvé aucune association linéaire entre X et Y dans cet échantillon", suivi du coefficient et de son intervalle de confiance. Un intervalle de confiance allant de -0,05 à +0,35 n'est pas la preuve de l'absence de relation ; c'est la preuve que l'étude ne permettait pas de se prononcer.
Pourquoi corrélation n'est pas synonyme de causalité, dans le domaine des sondages
Une étude corrélationnelle observe les variables telles qu'elles se produisent naturellement et mesure la façon dont elles interagissent. Elle ne manipule rien, et c'est justement la manipulation qui valide les affirmations de causalité. Schober et al. (2018) rappellent la règle d'or pour tout lecteur d'une corrélation : "les chercheurs doivent éviter de déduire la causalité de la corrélation". Presque tous les sondages en Market Research sont corrélationnels, ce qui signifie que le terme "moteur de" ou "générateur de" doit être utilisé avec précaution dans chaque rapport qui en découle.
Lorsque deux variables d'un sondage sont corrélées, au moins cinq explications sont possibles en même temps.
1. X cause Y
L'explication vers laquelle tout le monde se tourne en premier, et l'une des cinq possibles.
2. Y cause X, ou causalité inverse
La fréquence des contacts avec le support est corrélée à une satisfaction plus faible. Les interactions avec le support rendent-elles les gens mécontents, ou est-ce que les personnes mécontentes contactent davantage le support ? Un simple sondage transversal ne permet pas de dissocier ces deux aspects, car les deux variables ont été mesurées au même moment.
3. Un facteur de confusion cause les deux
C'est le problème majeur. Les clients qui utilisent votre application mobile affichent une satisfaction plus élevée. L'utilisation de l'application peut générer de la satisfaction, ou alors les utilisateurs les plus actifs adoptent l'application et sont plus satisfaits parce qu'ils tirent globalement plus de valeur de votre produit. L'intensité de l'utilisation est ici le facteur de confusion, et elle amplifie l'effet apparent de l'application. L'intégration du facteur de confusion en tant que variable de contrôle, via une corrélation partielle ou une régression, est la solution corrective standard. Elle ne fonctionne toutefois que pour les facteurs de confusion que vous avez identifiés et mesurés.
4. Les effets de sélection
Les corrélations sont calculées sur la base des personnes qui ont répondu. Si le profil des répondants est lié aux deux variables, la corrélation est en partie une caractéristique de votre échantillon plutôt que de votre marché. Les clients satisfaits répondent plus volontiers aux enquêtes de satisfaction, ce qui fausse toute relation impliquant la satisfaction. C'est l'une des raisons pour lesquelles votre méthode d'échantillonnage limite la signification que l'on peut prêter à une corrélation.
5. La variance de méthode commune
Spécifique aux sondages et largement sous-estimée. Lorsque les deux variables proviennent de la même personne au sein du même questionnaire, une partie de leur variance commune provient de l'individu et de l'outil plutôt que des concepts étudiés eux-mêmes. Une personne de bonne humeur aura tendance à tout évaluer plus favorablement. Quelqu'un qui apprécie votre marque évaluera positivement chaque attribut (l'effet de halo). De plus, le besoin de cohérence pousse les répondants à aligner leurs réponses futures sur les premières. Tout cela crée de la corrélation artificielle entre n'importe quel ensemble de questions d'attitude dans un même sondage.
L'implication pratique : les corrélations d'attitude à attitude au sein d'un seul questionnaire constituent les preuves les plus faibles de votre ensemble de données. Les corrélations entre une réponse à un sondage et des données comportementales enregistrées ailleurs sont considérablement plus solides, car les deux mesures ne partagent pas la même source.
Ce qui renforce un argument causal
On ne peut pas obtenir de preuve définitive à partir d'un sondage transversal, mais on peut s'en rapprocher.
Établir l'ordre temporel. Mesurez la cause présumée avant l'effet présumé. Un modèle longitudinal ou de panel, dans lequel les mêmes personnes sont interrogées à deux moments différents, élimine au moins le scénario le plus simple de causalité inverse.
Contrôler ce que vous pouvez mesurer. La corrélation partielle et la régression éliminent l'influence des facteurs de confusion pour lesquels vous disposez de données. Soyez explicite sur le fait qu'elles ne peuvent pas éliminer ceux que vous n'avez pas mesurés.
Rechercher une relation dose-effet. Si une exposition accrue s'accompagne d'un effet accru selon une courbe constante, l'interprétation causale est plus plausible que si la relation n'apparaît qu'à un seul seuil arbitraire.
Utiliser une source de données différente pour l'un des aspects. Associez les attitudes mesurées dans le sondage à des journaux de comportement ou à des historiques de transactions pour échapper à la variance de méthode commune.
Lancer une expérimentation lorsque la décision est coûteuse. Un test randomisé valide ce qu'une corrélation ne fait que suggérer. Si une corrélation est sur le point de justifier un investissement important, c'est précisément le moment où l'expérimentation en vaut la peine.
Demander directement aux gens, puis écouter. Les répondants ne peuvent pas toujours décrire fidèlement leurs propres motivations profondes, mais une explication formulée avec leur propres Verbatims révèle souvent un mécanisme, ou un facteur de confusion, qu'aucune matrice de corrélation ne pourrait mettre en évidence. C'est ici que l'approche qualitative gagne toute sa légitimité.
La significativité dépend de la taille de votre échantillon
Une p-value pour une corrélation teste une hypothèse étroite : que la corrélation réelle au sein de la population est exactement de zéro. La facilité avec laquelle vous pouvez rejeter cette hypothèse dépend presque entièrement du nombre de répondants que vous avez.
La corrélation approximative requise pour atteindre une significativité statistique au seuil conventionnel de 5%, bilatéral, illustre bien ce point :
Taille de l'échantillon | Approximativement le plus petit r qui atteint p < 0,05 | Variance partagée à cette valeur |
|---|---|---|
n = 30 | Environ 0,36 | Environ 13% |
n = 100 | Environ 0,20 | Environ 4% |
n = 400 | Environ 0,10 | Environ 1% |
n = 1 000 | Environ 0,06 | Moins de 1% |
Deux conclusions découlent de ce tableau. Dans un grand échantillon, une corrélation de 0,07 peut être signalée comme statistiquement significative tout en expliquant bien moins de 1% de la variance, ce qui n'est presque jamais une base pour prendre une décision. Et dans un petit échantillon, une corrélation substantiellement significative de 0,30 peut ne pas atteindre le seuil de significativité, ce qui est une affirmation sur la taille de votre échantillon plutôt qu'une preuve de l'absence de relation.
Présentez le coefficient, l'intervalle de confiance et la taille de l'échantillon ensemble. Le terme « Significatif » employé seul n'apporte presque aucune information.
Le piège de la matrice de corrélation
Croiser chaque variable avec toutes les autres est le moyen le plus rapide de trouver des faux positifs. Vingt variables produisent 190 paires. À un seuil de 5%, on pourrait s'attendre à ce qu'environ dix d'entre elles ressortent comme significatives, même si aucune donnée n'était liée en réalité.
Si vous explorez une matrice, traitez ce que vous trouvez comme une hypothèse plutôt que comme un résultat. Ajustez pour les comparaisons multiples, ou spécifiez les relations qui vous intéressent avant de regarder, ou alors mettez de côté une partie de l'échantillon pour vérifier si le schéma persiste dans la moitié que vous n'avez pas explorée.
Une courte check-list avant de présenter une corrélation
Vérifiez le niveau de mesure. Les variables ordinales vont vers Spearman. Les échelles composites peuvent aller vers Pearson si vous le justifiez.
Tracez le nuage de points. Cherchez une courbure, des clusters et des valeurs aberrantes avant de faire confiance au chiffre.
Indiquez r, n et un intervalle de confiance, et pas seulement une p-value.
Élevez-le au carré. Demandez-vous si la variance partagée justifie la phrase que vous vous apprêtiez à écrire.
Listez les variables de confusion plausibles dans le rapport, y compris celles que vous n'avez pas pu mesurer.
Choisissez le verbe avec soin. « Est associé à » est ce que les données soutiennent. « Influence » (drives) est ce qu'une expérience soutient.
La corrélation est véritablement utile. Elle permet de restreindre le champ, d'indiquer ce qu'il faut examiner, et transforme un grand tableau de résultats de questions fermées en une courte liste d'éléments qui valent la peine d'être compris. Ce qu'elle ne peut pas faire, c'est vous dire ce qui se passera si vous changez quelque chose.
Références
Schober, P., Boer, C. et Schwarte, L. A. Correlation Coefficients: Appropriate Use and Interpretation. Anesthesia & Analgesia 126(5), 2018, pp. 1763-1768.
Cohen, J. A Power Primer. Psychological Bulletin 112(1), 1992, pp. 155-159. Résume les conventions établies dans Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (1988).
Jamieson, S. Likert Scales: How To (Ab)Use Them. Medical Education 38(12), 2004, pp. 1217-1218.
Norman, G. Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education 15(5), 2010, pp. 625-632.
Trouvez le schéma, puis posez des questions
Une matrice de corrélation vous indique que deux éléments évoluent ensemble. Elle ne vous dit jamais pourquoi, et le « pourquoi » est ce qui détermine si l'action qui en découle fonctionnera. La plupart des équipes s'arrêtent à la matrice car aller plus loin implique de mener des entretiens, et les entretiens sont lents.
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Foire Aux Questions
Quand dois-je utiliser Spearman au lieu de Pearson ?
Utilisez Spearman lorsqu'au moins une variable est ordinale, comme un item d'une échelle de Likert, lorsque la relation est monotone mais courbe, lorsqu'il y a des valeurs aberrantes ou lorsqu'une distribution est fortement asymétrique. Spearman corrèle les rangs plutôt que les valeurs brutes, il ne s'appuie donc que sur l'ordre. Pearson convient aux variables continues présentant une relation approximativement linéaire.
Que signifie le coefficient de corrélation de Spearman ?
Il indique avec quelle régularité deux variables évoluent dans la même direction lorsque toutes deux sont exprimées sous forme de rangs. Il va de -1 à +1, où +1 signifie que les deux ordres de classement sont identiques, -1 signifie qu'ils sont exactement inversés, et 0 signifie qu'il n'y a pas de tendance monotone. Parce qu'il utilise des rangs, il évalue la direction et la régularité, mais pas la taille des écarts entre les valeurs.
Que signifie "absence de corrélation" ?
Cela signifie que le coefficient est proche de zéro, donc qu'il n'y a pas de tendance linéaire cohérente pour Pearson, ou pas de tendance monotone cohérente pour Spearman, dans cet échantillon. Cela ne signifie pas que les variables ne sont pas liées. Une relation courbe, une restriction de la plage de variation, des sous-groupes opposés ou des mesures bruitées peuvent tous produire un coefficient proche de zéro alors qu'il existe une relation réelle.
Qu'est-ce qu'une étude corrélationnelle ?
Une étude corrélationnelle mesure les variables telles qu'elles se présentent naturellement et examine comment elles sont liées, sans manipulation externe. Presque toute la recherche par questionnaire (Survey Research) est corrélationnelle. Elle permet d'établir que deux éléments vont de pair et avec quelle force, mais comme rien n'a été attribué de manière aléatoire, elle ne permet pas d'exclure une causalité inverse ou l'influence d'une troisième variable non mesurée.
Qu'est-ce qui est considéré comme une corrélation forte dans les données d'enquête ?
Cela dépend du domaine d'étude et des construits. Les repères conventionnels de Cohen pour les sciences comportementales situent environ 0,10 comme faible, 0,30 comme moyen et 0,50 comme fort, et ils ont été proposés à titre indicatif plutôt que comme des règles strictes. Dans la recherche sur les attitudes, des valeurs supérieures à 0,60 entre deux construits véritablement distincts sont rares. Des valeurs très élevées sont souvent le signe que deux questions mesurent en réalité la même chose.
Pourquoi une corrélation d'enquête ne peut-elle pas prouver la causalité ?
Parce que rien n'a été attribué de manière aléatoire, ce qui laisse au moins cinq explications possibles : X cause Y, Y cause X, une troisième variable cause les deux, la tendance reflète le profil des répondants, ou les deux réponses partagent de la variance simplement parce que la même personne y a répondu dans le même questionnaire. Des mesures ordonnées dans le temps, des variables de contrôle, des sources de données indépendantes et des expérimentations permettent de restreindre ces possibilités ; ce que ne permet pas une simple enquête transversale.
